fail to と fail inの違い

fail toの意味は

「～しそこなう、(すべきだが)～しない」

です。

I failed to catch the train.
私はその列車の乗り損ねた。

fail inの意味は

「(試みなど)に失敗する、落ちる」

She failed in math.
彼女は数学を落とした。

fail to と fail inの違いですが、

fail toのfailは、他動詞でtoの後には動詞がきます。ある動作をしようとして失敗するという意味です。期待感があってやったんだけで、できなかったという感じです。

fail inのfailは、自動詞でinの後は名詞がきます。inの後にくる名詞を失敗したという意味です。

toは動作にフォーカスが向かうのに対してinは物理的事実にフォーカスがいきます。

I failed in the plan.
私は計画に失敗した。

I failed to do the plan.
私は計画をやるのに(をやろうとしたけど計画)に失敗した。

fail toを使った方が頑張ったんだけどダメだったんだって感じが伝わります。fail inを使うと単に失敗したという事実を伝える感じです。